电容的串联和并联

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预备知识电容

图 1：电容并联（左）和串联（右）

$n$ 个电容并联和串联公式分别为

\begin{equation}C=\sum_{i=1}^{n}C_i\end{equation}

\begin{equation}\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}\end{equation}

特殊地，$n = 2$ 时并联公式可变形为

\begin{equation}C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}\end{equation}

电容的并联

如 左边为两电容器的并联，由于并联电压相等

\begin{equation}U_1=U_2=U\end{equation}

由电容的定义知道

\begin{equation}\begin{aligned}Q_1=C_1U\\Q_2=C_2U\end{aligned}\end{equation}

所以，两电容器并联后总电容为

\begin{equation}C=\frac{Q_1+Q_2}{U}=\frac{Q_1}{U}+\frac{Q_2}{U}=C_1+C_2\end{equation}

\begin{equation}C = C_1 + C_2\end{equation}

对于 $n$ 个电容器的并联，可采取同样的证明方法，结果有

\begin{equation}C=\sum_{i=1}^{n}C_i\end{equation}

上式也可以用数学归纳法证明．

电容的串联

如 右边为两电容器的串联．对于串联，两电容器电荷量 $Q$ 相等

\begin{equation}Q_1=Q_2=Q\end{equation}

由电容的定义知道

\begin{equation}\begin{aligned}U_1=\frac{Q}{C_1}\\U_2=\frac{Q}{C_2}\end{aligned}\end{equation}

所以，两电容器串联后总电容为

\begin{equation}{C} = \frac{Q}{U_1+U_2} = \frac{Q}{\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}\end{equation}

或

\begin{equation}\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\end{equation}

与电容的并联类似电容的串联，可证明对于 $n$ 个电容器的串联，有

\begin{equation}\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}\end{equation}

习题 1

用数学归纳法分别证明 $n$ 个电容器的串联和并联公式（证明可参考弹簧的串联和并联）

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文章由启和科技编辑